利用T型网络来拓展光电二极管跨阻放大器(TIA)解决方案的适用范围——第一部分：补偿流程

作者：Michael Steffes，资深系统/应用工程师

摘要

随着跨阻放大器(TIA)解决方案在增益和速度方面的要求不断攀升，第一级运算放大器和外部元件必须具备非常高的增益带宽积(GBP)，同时反馈电容必须低到不可思议的程度。本系列文章分为两部分，第一部分将介绍一个非常简单的4步补偿流程，用于为简单的TIA设计实现近似闭环巴特沃斯响应。随后，我们将添加一个反馈电阻T型网络来改进原设计，并说明所需的简单计算公式和这种实现方式带来的优势。第二部分将展示添加T型网络后环路增益(LG)曲线的变化，分析输出噪声项的变化，修改示例设计为单电源配置，并说明如何利用T型网络来满足50 MΩ跨阻放大器(TIA)需求（提高所需的Cf并采用JFET输入器件）。

引言

对光学检测的需求已遍及各领域，并且增长迅速。已有的文献从多个角度提出了设计解决方案，而本文将采用一种相对简单的近似设计方案。图1展示了光电二极管跨阻放大器(TIA)的基本设计问题，图中标示了关键元件，并采用1.3 GHz增益带宽积(GBP)的去补偿电压反馈放大器(VFA) LT6200-10。


图1.双极性电源跨阻放大器级的初步设计

此示例采用10 pF检波二极管（工作在预期的反向偏置电压下，图1中未显示），目标是实现闭环二阶巴特沃斯频率响应，以期获得从输入电流到输出电压之间的20 kΩ跨阻增益。但首先，有几点重要事项需要说明。

1.        该双极性输入器件在接近负电源电压工作时，其输入引脚会流出相对较大的输入偏置电流。轨到轨输入级（如LT6200-10）在接近正电源电压时有一个交越点，在该点会激活另一个输入级。对于TIA设计，输入引脚通常偏向负电源轨，且不会发生共模(CM)偏移。SPICE线上模型显示，PNP输入级会从引脚流出典型值为18 μA的偏置电流。Rbal电阻会抵消该偏置电流引起的输出直流误差，将误差降低至Ioffset × Rf量级。此外，添加Cfil的作用是衰减Rbal产生的约翰逊噪声。流过Rbal = 20 kΩ的标称18 μA输入偏置电流会使V+节点（和输入引脚）正向偏移0.36 V，这也会加到光电二极管偏置电压上。在此示例中，额定最大4 μA输入失调电流会通过电阻使输出直流误差增加4 μA × 20 kΩ = ±80 mV。

2.        该初步设计采用平衡双极性电源，故初始测试时电源以地为中心。通常，PD管提供单极性输出电流（如图1所示，表现为灌电流），电路会对输入和输出进行偏置，使电压从某个最小电平开始，进行单极性正向摆动。图1的单电源修改方案将在后文讨论。

3.        必须将放大器内部寄生的输入电容Ccm + Cdiff 加到二极管的源电容上以进行TIA电路的补偿分析（即设置Cf）。LTC6200-10 LTspice®模型测试表明，Ccm = 3.6 pF且Cdiff = 0.7 pF，因此在设计中，将4.3 pF加到本例的源电容10 pF上，并在设计方程中使用此总电容Cs = Cdiode + Ccm + Cdiff。（数据手册显示的值更高，但本次工作需要使用仿真模型元件。）

4.        数据手册给出的GBP为1.6 GHz，但对于TIA补偿，噪声增益曲线会在一个相对较高的噪声增益点与放大器的Aol曲线相交。因此，对于TIA设计，为了正确估算补偿方案的GBP值，需要在Aol相位约为90°的区间内，将Aol曲线的单极点以20dB/Dec投影至单位增益的位置以获得GBP。根据线上仿真模型，此GBP值为1.3 GHz。

5.        图1的示例设计显示，反馈电容Cf为0.42 pF。只需几个简单步骤，即可利用图2的环路增益(LG)曲线，推导出这一估算值。这是大多数TIA设计的典型LG曲线，其中放大器的开环增益曲线上叠加了反馈噪声增益(NG)响应，以显示设计中的关键频率。


图2.简易单反馈Rf情况下的典型TIA LG曲线

图2的LG曲线上显示了关键频率。

Fo将是二阶闭环Vout/Idiode频率响应的特征频率，并且是从零点频率(Z1)开始的上升噪声增益曲线与器件Aol响应曲线交点的投影。数学上，它是Z1与放大器GBP的几何平均值。对于这种简化的设计流程，单极点运算放大器Aol模型通常足以满足需求。

噪声增益将从Z1处开始上升，其中Z1 = 1/(2π × Rf × (Cs+Cf))。鉴于Cf通常小于Cs，一个非常有用的近似处理是直接在Z1表达式中忽略Cf，以便获得近似解。由于Z1的近似结果需带入Fo表达式中进行开方运算，所以由此产生的误差通常会非常小。

这里的补偿问题是设置噪声增益极点：P1 = 1/(2πRfCf)；如果Rf已选定，则只需关注Cf即可。通过对图1的二阶拉普拉斯传递函数进行详细分析，可得出其闭环二阶响应Q ≈ (P1/Fo)。如果目标是Q = 0.707（设置P1 = 0.707 × Fo），这个非常有用的结果会变得更简单，最终的闭环响应将逼近于具最大平坦度的巴特沃斯响应，F-3dB = Fo。

因此，通过如下简单四步即可求解Cf，确保TIA实现闭环巴特沃斯响应。使用上述示例设计：
1.        求出近似噪声增益零点(1/(2π × 20 kΩ × 14.3 pF)) = 556 kHz。（这里忽略了Cf，精确求解Z1的方程中需要考虑此项。）
2.        使用此噪声增益零点频率(Z1)和放大器的GBP，针对Q = 0.707的设计目标估算Fo = √(556 kHz × 1.3 GHz) = 26.9 MHz = F-3dB。
3.        将反馈极点设置为0.707 × Fo，即0.707 × 26.9 MHz = 19 MHz = P1。或Cf = 1/(2π × 19 MHz × 20 kΩ) = 0.42 pF。
4.        确认高频噪声增益大于放大器的最小稳定增益，或1 + (14.3 pF/0.42 pF) = 35 V/V大于额定最小稳定增益10 V/V。因此，根据图2的LG曲线，Fc = 1.3 GHz/35 = 37 MHz。

巴特沃斯二阶目标设计在理想单极点Aol下可提供65.5°的相位裕量。如果更高阶Aol极点远高于Fc频率，系统将非常稳定，而本设计恰好满足这一条件。基于这个简化的巴特沃斯目标设计，要实现任何其他Q，只需按目标Q比值调整反馈电容Cf值即可。许多传统TIA设计流程的目标是将反馈极点置于Fo来实现Q = 1。要实现该结果，只需将巴特沃斯Cf按0.707/1的比例缩小，便能得到1.2dB峰化和16%阶跃过冲的响应特性，这正好与Q = 1的二阶响应吻合。

对图1的LTspice电路进行小信号交流响应测试，得到图3所示的相当平坦的响应曲线。这不是二阶形状，因为LT6200-10模型的Aol曲线显示存在一对更高频率的零点/极点，但33 MHz的F–3dB与该理想巴特沃斯设计的简化设计流程所预测的27 MHz F-3dB相当接近。


图3.图1示例的仿真小信号响应

将此设计流程提炼为少数几个简单的方程式，即可求得反馈极点P1的解。



然后，基于给定的器件GBP和总的源电容Cs，通过对方程进行整理，即可推导出最大Rf或最大F-3dB：



或者在给定Rf和GBP的条件下，对上式进行整理以求解最大F-3dB，假设P1设置为如下频率的0.707：




然后，在给定目标F-3dB、Rf和Cs的条件下，对以上最后一个方程进行整理以求解所需的最小GBP，可得到如下约束条件：



显然，对于给定的源电容，GBP、Rf和F-3dB三者之间存在紧密的耦合关系。对于给定的GBP和Cs，要实现更多增益就必须降低带宽，或者反过来，要提高带宽就必须降低Rf值（增益）。

在TIA设计中加入电阻T型网络的作用

图1示例要求反馈电容相对较低，仅0.42 pF。用于Rf的典型SMD（表贴器件）电阻具有0.18 pF到0.2 pF的寄生电容，因此实际的外部物理电容Cf需要降低到0.22 pF。虽然这勉强可以实现，但使用少量电路内T型增益，可将所需Cf值提升到一个更容易重复达到的区域；或者，当所需Cf小于0.20 pF时，借助环路内部的一定量T型增益，可将其提升到接近寄生电容值的水平。

图4显示了反馈环路内部使用反馈T型网络的TIA设计的初步电路。1


图4.使用包含R2和R1的反馈T型网络的示例设计

暂时将R1排除在电路之外，如果R2从0开始增大，须将R2加到TIA增益中的Rf上。例如，若将R2设置为1 kΩ，则图4中的TIA增益将提高到21 kΩ。当R1元件也发挥作用时，Rf输出电压上的1 + R2/R1 = At增益将使整体TIA增益从Rf + R2提高到Rf × At + R2。首先分析添加R1和R2对直流增益和失调的影响，以TIA总增益达到Zt为目标。

1.        权衡不同的R1和R2组合方案时，通常使用相对较低的电阻值，以使其自身的噪声对总积分输出噪声的贡献可以忽略不计。同时，应使电阻之和R1 + R2 = Rl等于目标运放负载（取决于运放的电流输出能力），此负载通常与用于生成Aol曲线的负载一致。
2.        当At增益从1（电路中无R1）逐渐提高时，所需的Rf值将逐渐降低，因为Rf = Zt–R2 /At。
3.        给定Rl和Zt，当At从1逐渐提高时，求解R2和R1得到如下公式：
A.        R2 = Rl × (At – 1)/At
B.        R1 = Rl/At
4.        当Rf减小时（针对双极性输入运算放大器方案），为了保持输入偏置电流误差消除功能，应将Rbal减小到等于新的Rf值。在大多数双极性输入运算放大器中，此举可抵消由匹配的输入偏置电流项在Rf元件输出端引起的误差电压。输入失调电压误差仍会存在，且由于At增益的作用，其对输出的影响会被进一步放大。在输入偏置电流相对较大的情况下（例如在此双极性输入LT6200-10中），减小Rbal = Rf值也会降低由于Ib+进入Rbal而导致的输入共模电压偏移。这在目标TIA增益(Zt)较高的应用中非常有用，能确保输入共模电压处于允许的范围之内。JFET或CMOS输入运算放大器方案不会使用Rbal元件，因为其输入偏置电流要低得多，并且通常不匹配。
5.        为了实现补偿，尽管现在Rf值有所降低，但由其设置的反馈极点(P1)位置将保持不变，从而迫使Cf值上升。这对于将Cf提升到更容易实现的范围非常有用。

引入T型网络后，所有目标设计所需的Cf值都得到了提升，同时双极性输入方案所需的Rbal值得以减小，输入偏置电流引起的输入共模电压偏移因而也更小。另一方面，相较于简单的TIA设计，运算放大器输入失调电压的增益会提高（幅度为T型网络的增益），输出积分噪声会略微增加。

通常，这种方法会使用适度的T型网络增益，以确保Cf值达到或高于寄生电容水平。选择所需T型增益的步骤如下：
1.        选择一个At值
2.        目标R2 + R1负载设置为Rl，求解R2 = Rl × (At –1)/At
3.        然后R1 = Rl/At
4.        降低Rf值，使用Rf = (Zt –R2)/At获得所需的Zt增益
5.        使用这一新的Rf值和无T型网络的P1位置，求解提升的Cf = 1/2π × Rf × P1

另一种方法是先确定一个特定的目标Cf值，再依此设置设计中的其他元件。采用该方法会得到At的二次方程解。



使用原始无T型网络的P1位置，针对特定Cf求解所需的Rf值，以在最终的T型网络方案中获得相同的P1位置。此外，设置约束条件：R1 + R2 = 1 kΩ = Rl。确定了新的Rf后，计算At的二次解需要用到二次公式中的如下标准项。

-b/2 = (Zt – Rl)/2Rf
c = -Rl/Rf

对于之前的示例设计，假设目标反馈电容Cf为1.2 pF。该电容由反馈电阻的0.2 pF寄生电容和1 pF的外部电容Cf构成。为将目标P1维持在19 MHz，Rf需要降至6.97 kΩ。

然后求解二次方程，可得At = 2.78。在Rl = 1 kΩ的条件下，选择R2 = 640 Ω且R1 = 360 Ω可实现Zt = 20 kΩ。将LTspice中的示例TIA设计更改为这些条件，即得到图5所示的电路。


图5.更新后的TIA设计，采用T型网络，Cf目标值为1.2 pF

在图6中，新的TIA响应曲线叠加在原始无T型网络设计的响应曲线之上。结果显示，仿真的小信号频率响应几乎没有变化。两者的起始增益均为86 dBΩ (20 × log(20 kΩ))，曲线略有纹波。Vout T型网络的响应稍高，但两者都达到了33.7 MHz F-3dB。


图6.简易TIA与等效T型网络设计

通常认为，T型网络会显著提高积分输出噪声。而这一评估结果的准确性在很大程度上依赖于预期的噪声积分带宽。对20 MHz带宽的仿真输出积分噪声进行简要分析表明：图1的简单20 kΩ反馈设计为330 μV rms，而图5的T型网络设计为363 μV rms，噪声只是略有增加。在这两种设计中，噪声的主要来源都是相对较高的输入电流噪声项，其值为3.5 pA/√Hz，通过20 kΩ增益放大后作用于输出。采用T型网络方法与采用等效的单电阻设计相比，输入电流噪声的增益没有变化。通常，建议将TIA带宽目标值设置为高于所需通道带宽，并利用后置滤波器将噪声积分带宽限制在一个较低的值。

结语

本文介绍了一种简化的设计流程，通过将T型网络应用于TIA设计，可将所需的补偿电容提升到高于寄生电容的水平。在第二部分中，我们将首先以LG波特图形式解析T型网络，然后说明使用T型网络对输出噪声的影响。

参考文献

1 Jerald Graeme，《Photodiode Amplifiers: Op Amp Solutions》，McGraw Hill出版社，1995年12月。

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作者简介

Michael Steffes于1985年进入电流反馈技术原创公司Comlinear，开始了自己的职业生涯。此后四十年间，他辗转六家科技公司，从事高速放大器开发工作，定义并推出了140多种高速放大器产品。在持续开展应用支持、新产品发布和与客户交流的过程中，他发表了150多篇文章和应用笔记，成果全部聚焦于高速信号路径领域。