关于“时间常数”那点事
2009年06月17日 08:09 发布者：HWM
先声明：所有理论基础都有出处，在此不加证明。说实在，数学那玩意儿不是那么容易从根上加以证明的。就那微积分来说，若不能彻底弄明白“实数”是啥东西，基本上说所作证明都是徒劳。而要彻底玩转《实数论》本身就不是一件容易的事情。好了言归正传，让我们一步步地来分析关于“时间常数”那点事。
网友评论
HWM 2009年06月17日
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 08:38 编辑
现在分两种情况分析：
一，容感上的初始电压和电流为零（即初始条件为零），且回路由理想电压源激励。
1） 阻容回路
S域方程：
I R + I / (C S) = U / S
其中I为回路电流的S域函数（拉普拉斯变换），U为所加电源电压。
由上式解得
I = U C / (R C S + 1)
电容上电压的S域函数为
Uc = U / S - I R
= U / S - U R C / (R C S + 1)
= U / (S (R C S + 1))
2） 阻感回路
S域方程：
I R + I L S = U / S
其中I为回路电流的S域函数（拉普拉斯变换），U为所加电源电压。
由上式解得
I = (U / R) / (S ((L / R) S + 1))
此便是电感上电流的S域函数。
3） 综合分析
由上可见，其有一个统一的S域函数形式：
A / (S (T S + 1))
其中：T为时间常数，A为最终极限值
对于阻容回路而言，T = R C，A = U （考虑的是电压）
而对于阻感回路而言，T = L / R，A = U / R （考虑的是电流）
至于S域函数 A / (S (T S + 1)) 的时域函数，由下表（拉氏逆变换）：
A (1 - e^(-t/T))
即对于阻容回路有：
U(t) = U (1 - e^(-t/(RC)))
而对于阻感回路有：
I(t) = (U / R) (1 - e^(-t/(L/C)))
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 08:38 编辑
现在分两种情况分析：
一，容感上的初始电压和电流为零（即初始条件为零），且回路由理想电压源激励。
1） 阻容回路
S域方程：
I R + I / (C S) = U / S
其中I为回路电流的S域函数（拉普拉斯变换），U为所加电源电压。
由上式解得
I = U C / (R C S + 1)
电容上电压的S域函数为
Uc = U / S - I R
= U / S - U R C / (R C S + 1)
= U / (S (R C S + 1))
2） 阻感回路
S域方程：
I R + I L S = U / S
其中I为回路电流的S域函数（拉普拉斯变换），U为所加电源电压。
由上式解得
I = (U / R) / (S ((L / R) S + 1))
此便是电感上电流的S域函数。
3） 综合分析
由上可见，其有一个统一的S域函数形式：
A / (S (T S + 1))
其中：T为时间常数，A为最终极限值
对于阻容回路而言，T = R C，A = U （考虑的是电压）
而对于阻感回路而言，T = L / R，A = U / R （考虑的是电流）
至于S域函数 A / (S (T S + 1)) 的时域函数，由下表（拉氏逆变换）：
A (1 - e^(-t/T))
即对于阻容回路有：
U(t) = U (1 - e^(-t/(RC)))
而对于阻感回路有：
I(t) = (U / R) (1 - e^(-t/(L/C)))
yewuyi 2009年06月17日
呵呵，都像HWM老师这么讲课，还怕有学生听不懂吗？
呵呵，都像HWM老师这么讲课，还怕有学生听不懂吗？
HWM 2009年06月17日
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 09:21 编辑
二，容感上的初始电压和电流为非零（即初始条件为非零），且回路无激励（短路）。
1） 阻容回路
S域方程：
I R + I / (C S) + U0 / S = 0
其中I为回路电流的S域函数（拉普拉斯变换），U0为电容上的初始电压。
由上式解得
I = - (U0 / R) / (S + 1 / (R C))
电容上电压的S域函数为
Uc = - I R
= U0 / (S + 1 / (R C))
2） 阻感回路
S域方程：
I R + I L S - L I0 = 0
其中I为回路电流的S域函数（拉普拉斯变换），I0为电感上的初始电流。
由上式解得
I = I0 / (S + R / L)
此便是电感上电流的S域函数。
3） 综合分析
由上可见，其有一个统一的S域函数形式：
A / (S + 1 / T)
其中：T为时间常数，A为初始值
对于阻容回路而言，T = R C，A = U0 （考虑的是电压）
而对于阻感回路而言，T = L / R，A = I0 （考虑的是电流）
至于S域函数 A / (S + 1 / T) 的时域函数，由下表（拉氏逆变换）：
A e^(-t/T))
即对于阻容回路有：
U(t) = U0 e^(-t/(R C)))
而对于阻感回路有：
I(t) = I0 e^(-t/(L/C))
由此可见，所谓时间常数只是当某物理量变到它的终极值1-1/e（增大）或初始值1/e（减小）倍时所需要的时间。
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 09:21 编辑
二，容感上的初始电压和电流为非零（即初始条件为非零），且回路无激励（短路）。
1） 阻容回路
S域方程：
I R + I / (C S) + U0 / S = 0
其中I为回路电流的S域函数（拉普拉斯变换），U0为电容上的初始电压。
由上式解得
I = - (U0 / R) / (S + 1 / (R C))
电容上电压的S域函数为
Uc = - I R
= U0 / (S + 1 / (R C))
2） 阻感回路
S域方程：
I R + I L S - L I0 = 0
其中I为回路电流的S域函数（拉普拉斯变换），I0为电感上的初始电流。
由上式解得
I = I0 / (S + R / L)
此便是电感上电流的S域函数。
3） 综合分析
由上可见，其有一个统一的S域函数形式：
A / (S + 1 / T)
其中：T为时间常数，A为初始值
对于阻容回路而言，T = R C，A = U0 （考虑的是电压）
而对于阻感回路而言，T = L / R，A = I0 （考虑的是电流）
至于S域函数 A / (S + 1 / T) 的时域函数，由下表（拉氏逆变换）：
A e^(-t/T))
即对于阻容回路有：
U(t) = U0 e^(-t/(R C)))
而对于阻感回路有：
I(t) = I0 e^(-t/(L/C))
由此可见，所谓时间常数只是当某物理量变到它的终极值1-1/e（增大）或初始值1/e（减小）倍时所需要的时间。
sunny0203050 2009年06月17日
S域我已经很久没看了！前辈讲的我有点晕，留个记号以后用时在翻书看看
S域我已经很久没看了！前辈讲的我有点晕，留个记号以后用时在翻书看看
HWM 2009年06月17日
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 09:04 编辑
最后看一下单谐信号激励的情形（采用富氏变换）：
一，对于阻容回路来说，可列出下式
Uc = U Zc / (R + Zc)
= U / (1 + j ω R C)
二，对于阻感回路来说，可列出下式
Il = U / Z
= U / (R + j ω L)
= (U / R) (1 + j ω L / R)
由上可知，当频率分别为 1 / (R C) 和 R / L 时，Uc 和 Il 分别为其“截止点”，即 1 / (R C) 和 R / L 分别为相应回路的截止频率。这便是所谓“时间常数”的真正价值所在——“截止周期”。
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 09:04 编辑
最后看一下单谐信号激励的情形（采用富氏变换）：
一，对于阻容回路来说，可列出下式
Uc = U Zc / (R + Zc)
= U / (1 + j ω R C)
二，对于阻感回路来说，可列出下式
Il = U / Z
= U / (R + j ω L)
= (U / R) (1 + j ω L / R)
由上可知，当频率分别为 1 / (R C) 和 R / L 时，Uc 和 Il 分别为其“截止点”，即 1 / (R C) 和 R / L 分别为相应回路的截止频率。这便是所谓“时间常数”的真正价值所在——“截止周期”。
gaohq 2009年06月17日
受教了,谢谢HWM老师.
受教了,谢谢HWM老师.
sz_kd 2009年06月17日
呵呵，的确一些数学变换知识忘了，在学校的时候这些信号与系统知识都不在话下~~~~~~~~~~
呵呵，的确一些数学变换知识忘了，在学校的时候这些信号与系统知识都不在话下~~~~~~~~~~
wb61850 2009年06月17日
:victory:HWM老师好！
:victory:HWM老师好！
wb61850 2009年06月17日
俺想，诸多变幻会把人搞糊涂。
时间会倒流吗:P
俺想，诸多变幻会把人搞糊涂。
时间会倒流吗:P
qupeng2008 2009年06月17日
俺理论，时间被超越就倒流了。。
有点可怕~
俺理论，时间被超越就倒流了。。
有点可怕~
HWM 2009年06月17日
呵呵，爱因斯坦就是不小心玩了一下洛伦兹变换，便差点把时间倒流回去。
呵呵，爱因斯坦就是不小心玩了一下洛伦兹变换，便差点把时间倒流回去。
粉丝 2009年06月17日
HWM果然理论强，把拉普拉斯和FFT变换拉进来了，把俺吓得两腿发软啊，大家请安静，静静，要专心听HWM老师授课，哪位还没有交学费的赶快补交！
HWM果然理论强，把拉普拉斯和FFT变换拉进来了，把俺吓得两腿发软啊，大家请安静，静静，要专心听HWM老师授课，哪位还没有交学费的赶快补交！
一朝成名 2009年06月17日
听HWM老师讲课
那个学生在HWM门下，那就幸福死了:loveliness:
听HWM老师讲课
那个学生在HWM门下，那就幸福死了:loveliness:
chunk 2009年06月17日
回“夜无衣”：还真听不懂。
本来看楼主贴鼓起点勇气，再一看沙发贴：“先给出电阻，电容，电感和电源在S域（拉普拉斯变换）中的表达方式”，一下气就泄了。括弧里面只有6个字，对我这种底子极薄的菜鸟意味着什么呢？我个人的知识体系是支离破碎的，而且“基础知识”体系就是破碎的。
回“夜无衣”：还真听不懂。
本来看楼主贴鼓起点勇气，再一看沙发贴：“先给出电阻，电容，电感和电源在S域（拉普拉斯变换）中的表达方式”，一下气就泄了。括弧里面只有6个字，对我这种底子极薄的菜鸟意味着什么呢？我个人的知识体系是支离破碎的，而且“基础知识”体系就是破碎的。
HWM 2009年06月17日
回 16 楼：
不好意识，俺的分析让你疑惑了。
其实拉普拉斯变换是电路分析中的基础，虽然人们一般都推崇基氏的方程。但要知道，电路分析在时域上的直接应用是相当有限的，因为其直接要和微分方程打交道，那是相当困难的事情且不“直观”。若没有各类变换，电路分析（包括信号分析）决不会发展到现今的水准。因此建议，作为基础，必须熟悉拉普拉斯变换。此外还有其衍生品——傅立叶变换（对于周波还有傅立叶级数展开）。
拉普拉斯变换并不难，其有许多相当漂亮的特性（篇幅有限不可能意义展开），而且S域上面的基氏方程是线性代数方程，方便求解。
总之，要了解“基础”，学好“基础”，这样才能得到更好的发展。
回 16 楼：
不好意识，俺的分析让你疑惑了。
其实拉普拉斯变换是电路分析中的基础，虽然人们一般都推崇基氏的方程。但要知道，电路分析在时域上的直接应用是相当有限的，因为其直接要和微分方程打交道，那是相当困难的事情且不“直观”。若没有各类变换，电路分析（包括信号分析）决不会发展到现今的水准。因此建议，作为基础，必须熟悉拉普拉斯变换。此外还有其衍生品——傅立叶变换（对于周波还有傅立叶级数展开）。
拉普拉斯变换并不难，其有许多相当漂亮的特性（篇幅有限不可能意义展开），而且S域上面的基氏方程是线性代数方程，方便求解。
总之，要了解“基础”，学好“基础”，这样才能得到更好的发展。
宇宙飞船 2009年06月17日
精通拉普拉斯变换必需先精通微积分原理，HWM老师高深莫测！晕啊！
精通拉普拉斯变换必需先精通微积分原理，HWM老师高深莫测！晕啊！
fxhfxh 2009年06月17日
记号。
记号。
跟着菜农混 2009年06月17日
这些东西刚学没多久
无奈所有与高数沾边的，俺都晕，这变换那变换的，都晕
这些东西刚学没多久
无奈所有与高数沾边的，俺都晕，这变换那变换的，都晕
wb61850 2009年06月17日
HWM老师说的很好，虽然我也有些糊涂，但是还是能够理解老师的意思:)
以下个人理解：
时间和空间是最基本的了，秒和米是它们的单位:)
请问：有超越时间和空间的事物吗？就是说，什么客观事物可以脱离时间和空间呢？:)
“时间常数”不仅在电子学中是基本参数，在其它学科中也是一项基本参数。
比方说“混凝土工程”高楼大厦哪一个能离开它。而“混凝土”从制拌到凝固到达到设计强度，哪一个参数能离开时间呢:)
所以说“时间常数”具有普遍的意义:)
当然具体到数学上是抽象的，但并不是没有意义的。如果离开数学就不可能有精确的计算，那么就谈不上精确的控制。这就是数学的意义吧:)
HWM老师说的很好，虽然我也有些糊涂，但是还是能够理解老师的意思:)
以下个人理解：
时间和空间是最基本的了，秒和米是它们的单位:)
请问：有超越时间和空间的事物吗？就是说，什么客观事物可以脱离时间和空间呢？:)
“时间常数”不仅在电子学中是基本参数，在其它学科中也是一项基本参数。
比方说“混凝土工程”高楼大厦哪一个能离开它。而“混凝土”从制拌到凝固到达到设计强度，哪一个参数能离开时间呢:)
所以说“时间常数”具有普遍的意义:)
当然具体到数学上是抽象的，但并不是没有意义的。如果离开数学就不可能有精确的计算，那么就谈不上精确的控制。这就是数学的意义吧:)
潜艇8421 2009年06月17日
通常定义成常数的东东应该不会太复杂，不可能会用到这么复杂的变换来定义，极有可能只用初等代数就搞定的事，俺猜肯定还有什么地方没有搞清楚想明白。
听HWM老师讲课很容易让人提起继续深造数学的兴致，只不过深造数学很容易让人走火入魔的。
通常定义成常数的东东应该不会太复杂，不可能会用到这么复杂的变换来定义，极有可能只用初等代数就搞定的事，俺猜肯定还有什么地方没有搞清楚想明白。
听HWM老师讲课很容易让人提起继续深造数学的兴致，只不过深造数学很容易让人走火入魔的。
wb61850 2009年06月18日
理想LR电路的时间常数:)file:///D:/My
理想LR电路的时间常数:)file:///D:/My
wb61850 2009年06月18日
D:\My Documents\001a\LR50.jpg
D:\My Documents\001a\LR50.jpg
wb61850 2009年06月18日
data/attachment/album/200906/17/40_1245281700TKr8.jpg :)
data/attachment/album/200906/17/40_1245281700TKr8.jpg :)
wb61850 2009年06月18日
data/attachment/album/200906/17/40_1245282254dE4H.jpg
红线是电压；蓝线是电流:)
data/attachment/album/200906/17/40_1245282254dE4H.jpg
红线是电压；蓝线是电流:)
wb61850 2009年06月18日
data/attachment/album/200906/17/40_1245282540o4jW.jpg
电流下沿波形。电流方向没变，按指数规律单调下降至零:)
data/attachment/album/200906/17/40_1245282540o4jW.jpg
电流下沿波形。电流方向没变，按指数规律单调下降至零:)
HWM 2009年06月18日
本帖最后由 HWM 于 2009-6-19 07:44 编辑
关于“时间常数”这点事儿实在是没必要再去深究。若真要追究其来源，那就看下面那堆玩意儿：
e^(-t/T)
看明白了没有？ 那 t 是“时间”，而那 T 就是“常数”。合起来就是“时间常数”
若将 T 单独拿出来，那玩意儿啥都不是。其实 T 的作用只是给一个“衰减”（或阻尼）模型提供一个时间因子（通常此类东东称为常数），没什么特别深奥的含义。当然，在单谐源激励的系统中，时间常数恰好是“截止周期”，这是其一个很好的引深。
在此本人用S域给出阻容和阻感回路的暂态分析，只是想从一个更简洁而统一的路经给出两种回路的“时间常数”表达式。其实这些概念和用什么变换或根本不用变换（直接时域求解）没啥关系，只是一个途径而已。
也许会有人提出疑问，为何“衰减”（或阻尼）模型要长成这副模样（e^(-t/T)）？
这请先看一下其相应的微分方程（一阶线性）所对应的物理模型。若实在搞不明白，那只能问上帝或自然了，谁叫e是一个“自然常数”呢。
本帖最后由 HWM 于 2009-6-19 07:44 编辑
关于“时间常数”这点事儿实在是没必要再去深究。若真要追究其来源，那就看下面那堆玩意儿：
e^(-t/T)
看明白了没有？ 那 t 是“时间”，而那 T 就是“常数”。合起来就是“时间常数”
若将 T 单独拿出来，那玩意儿啥都不是。其实 T 的作用只是给一个“衰减”（或阻尼）模型提供一个时间因子（通常此类东东称为常数），没什么特别深奥的含义。当然，在单谐源激励的系统中，时间常数恰好是“截止周期”，这是其一个很好的引深。
在此本人用S域给出阻容和阻感回路的暂态分析，只是想从一个更简洁而统一的路经给出两种回路的“时间常数”表达式。其实这些概念和用什么变换或根本不用变换（直接时域求解）没啥关系，只是一个途径而已。
也许会有人提出疑问，为何“衰减”（或阻尼）模型要长成这副模样（e^(-t/T)）？
这请先看一下其相应的微分方程（一阶线性）所对应的物理模型。若实在搞不明白，那只能问上帝或自然了，谁叫e是一个“自然常数”呢。
wb61850 2009年06月18日
data/attachment/album/200906/17/40_1245282905uHZI.jpg
把R1变为20欧（等效Ｌ的电阻）:)
data/attachment/album/200906/17/40_1245282905uHZI.jpg
把R1变为20欧（等效Ｌ的电阻）:)
wb61850 2009年06月18日
data/attachment/album/200906/18/40_124528327123Sj.jpg
电流上升时间变长了:)
data/attachment/album/200906/18/40_124528327123Sj.jpg
电流上升时间变长了:)
wb61850 2009年06月18日
data/attachment/album/200906/18/40_12452834671H8H.jpg
下沿时间也变长了:victory:
data/attachment/album/200906/18/40_12452834671H8H.jpg
下沿时间也变长了:victory:
wb61850 2009年06月18日
HWM老师说的好啊，有的事只好问“上帝”了:lol
HWM老师说的好啊，有的事只好问“上帝”了:lol
wb61850 2009年06月18日
向HWM老师致敬:victory:
向HWM老师致敬:victory:
粉丝 2009年06月18日
看HWM的标题，还以为一语道破天机！靠！现在搞到俺一把年纪还要精通微积分才能领会楼主的玄机！累呀！救命呀！哪位打救一下老夫！
看HWM的标题，还以为一语道破天机！靠！现在搞到俺一把年纪还要精通微积分才能领会楼主的玄机！累呀！救命呀！哪位打救一下老夫！
粉丝 2009年06月18日
看HWM的标题，还以为一语道破天机！靠！现在搞到俺一把年纪还要精通微积分才能领会楼主的玄机！累呀！救命呀！哪位打救一下老夫！
看HWM的标题，还以为一语道破天机！靠！现在搞到俺一把年纪还要精通微积分才能领会楼主的玄机！累呀！救命呀！哪位打救一下老夫！
wb61850 2009年06月18日
HWM老师说的已经很明白了啊，只是LS没有打好基础吧:P
俺自学高数用了将近三年，也不敢说搞清楚了:P
HWM老师说的已经很明白了啊，只是LS没有打好基础吧:P
俺自学高数用了将近三年，也不敢说搞清楚了:P
粉丝 2009年06月18日
楼主真强！
俺只有以下这些基础，请问能学懂微积分吗？
1+1=2
2+2=4
1*1=1
2*2=4
(-a)*(-a)=a^2
(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
a-(b-c)=a-b+c
a/b =a*(1/b)
(a)^(m/n)=(a^m ) ^(1/n)=sart(n)(a^m)
楼主真强！
俺只有以下这些基础，请问能学懂微积分吗？
1+1=2
2+2=4
1*1=1
2*2=4
(-a)*(-a)=a^2
(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
a-(b-c)=a-b+c
a/b =a*(1/b)
(a)^(m/n)=(a^m ) ^(1/n)=sart(n)(a^m)
HWM 2009年06月19日
关于“时间常数”的那点事，忍不住最后再啰嗦几句。
其实这点事的起因是有人想探究阻感回路的“时间常数”，这是件好事。原本只是在那里插了一句而不想过多发挥，毕竟那玩意儿早在二十几近三十年前就早已明了的事情，激不起兴趣来。后来看着看着发现“话有些大”，便忍不住另开一帖论之。
其实讨论“RC”和“L/R”是如何来的离不开“时间常数”的原始定义，问题是那玩意儿是否存在“独立”的定义呢？没有！要说最简单的定义形式便是“t/T”，要求其是一个无量纲表达式，为此必须配备一个量纲为时间的因子——此乃“时间常数”。相对应的，在S域，也存在这样的表达式——T S（1/S的量纲为时间）。因此，所谓要求解特定情况下的时间常数，无非是求得“t/T”或“T S”中的T是如何表示的，问题就那么简单。
另外电路分析是否要用到微积分，这有点类似于问出门是否要用到脚一样无聊。原本人们出门是必须要用到脚的，但现在好象在很多场合下都“部分”不需要了，那是技术的进步。电路那玩意儿也一样，就看你技术掌握得如何了。
最后强调一点的是，我们所在的世界似乎本原就是“微积分”所构造。那些所谓非“微积分”的东东其实只是他的特例而已，就如三角形的面积。
关于“时间常数”的那点事，忍不住最后再啰嗦几句。
其实这点事的起因是有人想探究阻感回路的“时间常数”，这是件好事。原本只是在那里插了一句而不想过多发挥，毕竟那玩意儿早在二十几近三十年前就早已明了的事情，激不起兴趣来。后来看着看着发现“话有些大”，便忍不住另开一帖论之。
其实讨论“RC”和“L/R”是如何来的离不开“时间常数”的原始定义，问题是那玩意儿是否存在“独立”的定义呢？没有！要说最简单的定义形式便是“t/T”，要求其是一个无量纲表达式，为此必须配备一个量纲为时间的因子——此乃“时间常数”。相对应的，在S域，也存在这样的表达式——T S（1/S的量纲为时间）。因此，所谓要求解特定情况下的时间常数，无非是求得“t/T”或“T S”中的T是如何表示的，问题就那么简单。
另外电路分析是否要用到微积分，这有点类似于问出门是否要用到脚一样无聊。原本人们出门是必须要用到脚的，但现在好象在很多场合下都“部分”不需要了，那是技术的进步。电路那玩意儿也一样，就看你技术掌握得如何了。
最后强调一点的是，我们所在的世界似乎本原就是“微积分”所构造。那些所谓非“微积分”的东东其实只是他的特例而已，就如三角形的面积。
粉丝 2009年06月19日
本帖最后由 粉丝 于 2009-6-19 11:13 编辑
HWM教授级的理论的确是强，不得不佩服！
能否帮大家解释一下以下数学符号的逻辑意义？
(-a)*(-a)=a^2
(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
a-(b-c)=a-b+c
a/b =a*(1/b)
(a)^(m/n)=(a^m ) ^(1/n)=sqrt(n)(a^m) //sqrt(n) 开根号n 次方 .
本帖最后由 粉丝 于 2009-6-19 11:13 编辑
HWM教授级的理论的确是强，不得不佩服！
能否帮大家解释一下以下数学符号的逻辑意义？
(-a)*(-a)=a^2
(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
a-(b-c)=a-b+c
a/b =a*(1/b)
(a)^(m/n)=(a^m ) ^(1/n)=sqrt(n)(a^m) //sqrt(n) 开根号n 次方 .
HWM 2009年06月19日
哈哈，仅就第一个式子给你答复，其他自己领会：
(-a)*(-a)=a^2
它的逻辑就是左一个嘴巴子，再右一个嘴巴子。否则头会歪掉的。
哈哈，仅就第一个式子给你答复，其他自己领会：
(-a)*(-a)=a^2
它的逻辑就是左一个嘴巴子，再右一个嘴巴子。否则头会歪掉的。
粉丝 2009年06月19日
晕！老夫一口气写了这么多，才学了这么一点东西？
HWM 教授就开个价，多多钱俺都出得起，只要教授能帮俺解开以上的凝团！
晕！老夫一口气写了这么多，才学了这么一点东西？
HWM 教授就开个价，多多钱俺都出得起，只要教授能帮俺解开以上的凝团！
宇宙飞船 2009年06月19日
发表于 半小时前 | 只看该作者 本帖最后由 粉丝 于 2009-6-19 11:13 编辑
HWM教授级的理论的确是强，不得不佩服！
能否帮大家解释一下以下数学符号的逻辑意义？
(-a)*(-a)=a^2
(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
a-(b-c)=a-b+c
a/b =a*(1/b)
(a)^(m/n)=(a^m ) ^(1/n)=sqrt(n)(a^m) //sqrt(n) 开根号n 次方 .
//----------------------------------------------------------------
佩服一下粉丝这种钻牛角尖的精神。
发表于 半小时前 | 只看该作者 本帖最后由 粉丝 于 2009-6-19 11:13 编辑
HWM教授级的理论的确是强，不得不佩服！
能否帮大家解释一下以下数学符号的逻辑意义？
(-a)*(-a)=a^2
(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
a-(b-c)=a-b+c
a/b =a*(1/b)
(a)^(m/n)=(a^m ) ^(1/n)=sqrt(n)(a^m) //sqrt(n) 开根号n 次方 .
//----------------------------------------------------------------
佩服一下粉丝这种钻牛角尖的精神。
潜艇8421 2009年06月19日
呵呵，粉丝提出的问题都是小学生应撑握的技俩！教授们当然不稍一顾了。
哪位自认为是精通微积分的，大可解释一下？俺来帮你们打分，看看谁有数学潜质！
呵呵，粉丝提出的问题都是小学生应撑握的技俩！教授们当然不稍一顾了。
哪位自认为是精通微积分的，大可解释一下？俺来帮你们打分，看看谁有数学潜质！
宇宙飞船 2009年06月19日
看来不懂装懂的人还是挺多的！粉丝那几道看似简单的题目，已经包含了初等代数的所有基础，也是精通微积分的必备基础，想自学精通微积分的，好好把它惨悟透。
//---------------------------------
俺最喜欢李白的一句话：
黄河之水天上来，奔流到海不复回。
哈哈哈。。。。。
看来不懂装懂的人还是挺多的！粉丝那几道看似简单的题目，已经包含了初等代数的所有基础，也是精通微积分的必备基础，想自学精通微积分的，好好把它惨悟透。
//---------------------------------
俺最喜欢李白的一句话：
黄河之水天上来，奔流到海不复回。
哈哈哈。。。。。
粉丝 2009年06月20日
看来还是不考大学好，免得白交学费呀！
看来还是不考大学好，免得白交学费呀！
ilonely 2010年12月19日
这个嘛，能看懂最好，，最好是硕士看
这个嘛，能看懂最好，，最好是硕士看
陈小东 2011年02月07日
唉~
唉~
陈小东 2011年02月07日
唉~
唉~
fymbl 2011年02月25日
牛人。。。。。。。。
牛人。。。。。。。。
ticktime 2011年03月15日
基本定义
如果定义：
* f(t)\,是一个关于t\,的函数，使得当t<0\,时候，f(t)=0\,；
* s\, 是一个复变量；
* \mathcal{L} 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分\int_0^\infty e^{-st}\,dt；F(s)\,是f(t)\,的拉普拉斯变换结果。
则f(t)\,的拉普拉斯变换由下列式子给出：
F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt
[编辑] 双边拉普拉斯变换
除了普遍使用的单边拉普拉斯变换外，双边拉普拉斯变换是将单边变换积分范围扩大为整个实数区域：
F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt
[编辑] 拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换，是已知F(s)\,，求解f(t)\,的过程。用符号 \mathcal{L}^{-1}\,表示。
拉普拉斯逆变换的公式是：
对于所有的t>0\,；
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} =\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)\,e^{st} \,ds
c\,是收敛区间的横座標值，是一个实常数且直线Re(s) = c处在F(s)的收敛域内。
[编辑] 拉普拉斯变换的存在性
主条目：拉普拉斯变换的存在性
关于一个函数f(t)\,的拉普拉斯变换，只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。也就是说，f(t)\,必须是在对于t>0\,的每一个有限区间内都是片断性连续的，且当t\,趋于无穷大的时候，f(t)\,是指数阶地变化。
[编辑] 拉普拉斯变换的基本性质
* 线性叠加
\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}
* 微分
\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)
* 时域
\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)
* 频域
\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma
\mathcal{L} \left\{\frac{f(t)}{t^n}\right\} = \int_s^{\infty} \int_{\sigma_1}^{\infty} \cdots \int_{\sigma_{n-1}}^{\infty} F(\sigma_{n}) \, d\sigma_{n} \cdots \, d\sigma_2 \, d\sigma_1
* 积分
\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ 1 * f(t)\right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}
* 初始值定理
f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}
* 终值定理
f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)} ，所有极点都在左半复平面。
终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现，且避免部分分式展开。如果函数的极点在右半平面，那么系统的终值是不定义的(例如：e^t\, 或 \sin(t)\,)。
* s 移动
\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)
* t 移动
\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)
注: u(t)\, 表示阶跃函数.
* n次幂移动
\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n
* 乘积
\mathcal{L} \left\{f(t)g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ ，c\,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(\sigma)\,的个别点的实部值。
* 卷积
\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}
[编辑] 变换简表
原函数
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\} 转换后函数
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} 收敛区域
\delta(t) \ 1 \ \mathrm{all} \ s \,
\delta(t-\tau) \ e^{-\tau s} \
u(t) \ { 1 \over s } s > 0 \,
u(t-\tau) \ { e^{-\tau s} \over s } s > 0 \,
t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2} s > 0 \,
e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ { 1 \over s+\alpha } s > - \alpha \
( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} s > 0\
\sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
\cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
{ t^n \over n! } \cdot u(t) { 1 \over s^{n+1} } s > 0 \,
\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} s > - \alpha \,
\sqrt{t} \cdot u(t) s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right) s > 0 \,
\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] s > 0 \,
J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}} s > 0 \,
(n > -1) \,
I_n(\omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} s > | \omega | \,
Y_0(\alpha t) \cdot u(t) -{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}} s > 0 \,
K_0(\alpha t) \cdot u(t)
\mathrm{erf}(t) \cdot u(t) {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s} s > 0 \,
[编辑] 与其他变换的联系
* 与傅里叶变换关系
令s = iω or s = 2πfi, 有：
\begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\ & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\ & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}
* 与z变换的联系
z 变换表达式为：
X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x z^{-n}
其中 z \leftarrow e^{s T} \ . 比较两者表达式有：
X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.
[编辑] 在工程学上的应用
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性，系统稳定有着重大意义；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
基本定义
如果定义：
* f(t)\,是一个关于t\,的函数，使得当t<0\,时候，f(t)=0\,；
* s\, 是一个复变量；
* \mathcal{L} 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分\int_0^\infty e^{-st}\,dt；F(s)\,是f(t)\,的拉普拉斯变换结果。
则f(t)\,的拉普拉斯变换由下列式子给出：
F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt
[编辑] 双边拉普拉斯变换
除了普遍使用的单边拉普拉斯变换外，双边拉普拉斯变换是将单边变换积分范围扩大为整个实数区域：
F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt
[编辑] 拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换，是已知F(s)\,，求解f(t)\,的过程。用符号 \mathcal{L}^{-1}\,表示。
拉普拉斯逆变换的公式是：
对于所有的t>0\,；
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} =\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)\,e^{st} \,ds
c\,是收敛区间的横座標值，是一个实常数且直线Re(s) = c处在F(s)的收敛域内。
[编辑] 拉普拉斯变换的存在性
主条目：拉普拉斯变换的存在性
关于一个函数f(t)\,的拉普拉斯变换，只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。也就是说，f(t)\,必须是在对于t>0\,的每一个有限区间内都是片断性连续的，且当t\,趋于无穷大的时候，f(t)\,是指数阶地变化。
[编辑] 拉普拉斯变换的基本性质
* 线性叠加
\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}
* 微分
\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)
* 时域
\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)
* 频域
\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma
\mathcal{L} \left\{\frac{f(t)}{t^n}\right\} = \int_s^{\infty} \int_{\sigma_1}^{\infty} \cdots \int_{\sigma_{n-1}}^{\infty} F(\sigma_{n}) \, d\sigma_{n} \cdots \, d\sigma_2 \, d\sigma_1
* 积分
\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ 1 * f(t)\right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}
* 初始值定理
f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}
* 终值定理
f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)} ，所有极点都在左半复平面。
终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现，且避免部分分式展开。如果函数的极点在右半平面，那么系统的终值是不定义的(例如：e^t\, 或 \sin(t)\,)。
* s 移动
\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)
* t 移动
\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)
注: u(t)\, 表示阶跃函数.
* n次幂移动
\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n
* 乘积
\mathcal{L} \left\{f(t)g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ ，c\,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(\sigma)\,的个别点的实部值。
* 卷积
\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}
[编辑] 变换简表
原函数
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\} 转换后函数
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} 收敛区域
\delta(t) \ 1 \ \mathrm{all} \ s \,
\delta(t-\tau) \ e^{-\tau s} \
u(t) \ { 1 \over s } s > 0 \,
u(t-\tau) \ { e^{-\tau s} \over s } s > 0 \,
t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2} s > 0 \,
e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ { 1 \over s+\alpha } s > - \alpha \
( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} s > 0\
\sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
\cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
{ t^n \over n! } \cdot u(t) { 1 \over s^{n+1} } s > 0 \,
\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} s > - \alpha \,
\sqrt{t} \cdot u(t) s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right) s > 0 \,
\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] s > 0 \,
J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}} s > 0 \,
(n > -1) \,
I_n(\omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} s > | \omega | \,
Y_0(\alpha t) \cdot u(t) -{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}} s > 0 \,
K_0(\alpha t) \cdot u(t)
\mathrm{erf}(t) \cdot u(t) {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s} s > 0 \,
[编辑] 与其他变换的联系
* 与傅里叶变换关系
令s = iω or s = 2πfi, 有：
\begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\ & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\ & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}
* 与z变换的联系
z 变换表达式为：
X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x z^{-n}
其中 z \leftarrow e^{s T} \ . 比较两者表达式有：
X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.
[编辑] 在工程学上的应用
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性，系统稳定有着重大意义；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
ticktime 2011年03月15日
刚刚在文档里面复制出来的好像有些问题，在这里贴上PDF档。希望能对大家有所帮助
刚刚在文档里面复制出来的好像有些问题，在这里贴上PDF档。希望能对大家有所帮助
xdj0317 2011年03月17日
太深奥了。
太深奥了。
spy007868 2013年10月28日
全部复制下来！！！！！！！！！我自己好好学习！！！！！！！！！！！！！！！
全部复制下来！！！！！！！！！我自己好好学习！！！！！！！！！！！！！！！
本帖最后由 HWM 于 2009-6-18 09:49 编辑
先给出电阻，电容，电感和电源在S域（拉普拉斯变换）中的表达方式（在电压回路方程中）：
电阻：I R
电容：I / (C S) + U0 / S
电感：I L S - L I0
电源：U / S
其中，I 为电流的S域函数，U 为电源电压，U0 为电容上的初始电压，I0 为电感上的初始电流。